曲线曲率公式推导
一、简介二、推导过程
一、简介
曲率由莱布尼茨和惠更斯于17世纪提出，是数学中描述曲线弯曲程度的核心概念，反映了曲线在某一点的“弯曲特性”。在几何学中，曲率是一个密切相关的概念群，直观上用于衡量曲线偏离直线或曲面偏离平面的程度。通过曲率，我们能够量化并分析曲线或曲面的形状变化，进而为更复杂的几何结构提供理解框架。 在曲线的情形中，曲率通常表示为曲线在某一点的变化速率，它与该点附近的切线的变化关系密切。对于圆形曲线，曲率等于其半径的倒数；半径越小，曲率越大。对于更高维的曲面或流形，曲率则更为复杂，涉及不同方向的变化，通常以最大曲率、最小曲率或平均曲率来表达。 曲率不仅在纯粹数学中具有重要意义，它在物理学、工程学、计算机图形学等领域也有广泛应用。在物理学中，曲率有助于描述空间的弯曲性质，而在计算机图形学中，曲率被用来优化图形渲染和建模过程。
二、推导过程
设
y
=
f
(
t
)
(
a
≤
t
≤
b
)
y=f(t)(a \leq t \leq b)
y=f(t)(a≤t≤b)设备故障概率曲线，M为曲线上任意一点，定义弧长函数为
s
(
t
)
=
∣
A
B
⌢
∣
s(t)=|\overset{\frown}{AB}|
s(t)=∣AB⌢∣ ，
M
Q
MQ
MQ 的弧长
∣
M
Q
⌢
∣
|\overset{\frown}{MQ}|
∣MQ⌢∣ 、距离
∣
M
Q
∣
|MQ|
∣MQ∣ 计算公式如下：
Δ
s
=
s
(
t
+
Δ
t
)
−
s
(
t
)
=
∣
M
Q
⌢
∣
∣
M
Q
⌢
∣
=
Δ
t
2
+
Δ
y
2
\Delta s = s(t+\Delta t) - s(t) = |\overset{\frown}{MQ}| \\ |\overset{\frown}{MQ}| = \Delta t^2 + \Delta y^2
Δs=s(t+Δt)−s(t)=∣MQ⌢∣∣MQ⌢∣=Δt2+Δy2 显然
lim
Δ
t
→
0
∣
M
Q
⌢
∣
∣
M
Q
∣
=
1
\lim_{\Delta t \to 0} \frac{|\overset{\frown}{MQ}|}{|MQ|} = 1
Δt→0lim∣MQ∣∣MQ⌢∣=1 弧微分计算公式如下：
lim
Δ
t
→
0
(
Δ
s
Δ
t
)
2
=
lim
Δ
t
→
0
∣
M
Q
⌢
∣
2
∣
M
Q
∣
2
⋅
∣
M
Q
∣
2
Δ
x
2
=
(
lim
Δ
t
→
0
∣
M
Q
⌢
∣
∣
M
Q
∣
)
2
⋅
lim
Δ
t
→
0
Δ
t
2
+
Δ
y
2
Δ
t
2
=
lim
Δ
t
→
0
(
1
+
(
Δ
y
Δ
t
)
2
)
=
1
+
(
y
′
)
2
\begin{align*} \lim_{\Delta t \to 0} (\frac{\Delta s}{\Delta t})^2 &= \lim_{\Delta t \to 0}\frac{|\overset{\frown}{MQ}|^2}{|MQ|^2} \cdot \frac{|MQ|^2}{\Delta x^2} \\ &= (\lim_{\Delta t \to 0}\frac{|\overset{\frown}{MQ}|}{|MQ|})^2 \cdot \lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta t^2 + \Delta y^2}{\Delta t^2} \\ &= \lim_{\Delta t \to 0} (1 + (\frac{\Delta y}{\Delta t})^2) \\ &= 1 + (y^{'})^2 \end{align*}
Δt→0lim(ΔtΔs)2=Δt→0lim∣MQ∣2∣MQ⌢∣2⋅Δx2∣MQ∣2=(Δt→0lim∣MQ∣∣MQ⌢∣)2⋅Δt→0limΔt2Δt2+Δy2=Δt→0lim(1+(ΔtΔy)2)=1+(y′)2 即
d
s
d
t
=
1
+
(
y
′
)
2
\frac{ds}{dt} = \sqrt{1 + (y^{'})^2}
dtds=1+(y′)2
根据曲率定义，故障概率曲线在点 M 处的曲率计算公式如下：
K
=
lim
Δ
s
→
0
Δ
α
Δ
s
=
d
α
d
t
⋅
d
t
d
s
K = \lim_{\Delta s \to 0}\frac{\Delta \alpha}{\Delta s} = \frac{d \alpha}{dt} \cdot \frac{dt}{ds}
K=Δs→0limΔsΔα=dtdα⋅dsdt 其中，
tan
α
=
y
′
α
=
arctan
y
′
d
α
d
t
=
(
arctan
y
′
)
′
=
y
′
′
1
+
y
′
\tan \alpha = y^{'} \\ \alpha = \arctan y^{'} \\ \frac{d \alpha}{dt} = (\arctan y^{'})^{'} = \frac{y^{''}}{1 + y^{'}}
tanα=y′α=arctany′dtdα=(arctany′)′=1+y′y′′ 通过上式，可得到曲率 K 为：
K
=
y
′
′
[
1
+
(
y
′
)
2
]
3
2
K = \frac{y^{''}}{[1 + (y^{'})^2]^{\frac{3}{2}}}
K=[1+(y′)2]23y′′